Контрольная Работа (Пересдача)

\[\newcommand{\st}{\, : \:} \newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\]

Problems

Упражнение 1 Пусть \(\mathbf{X}=(X_t)_{t\ge 0}\) — цепь Маркова на пространстве из двух состояний \(S=\{1,2\}\) с матрицей перехода: \[ P = \begin{pmatrix} 1-\alpha & \alpha \\ \beta & 1-\beta \end{pmatrix} \] где \(\alpha, \beta \in (0,1)\).

  1. Найдите единственное инвариантное распределение \(m\) этой цепи.

  2. Зафиксируем \(T>1\). Пусть \(Y_t = X_{T-t}\) — обращенная во времени цепь, стартующая из стационарного распределения. Определите матрицу перехода для \(\mathbf{Y}\).

  3. Пусть \(\mu_t\) — закон распределения \(X_t\) при старте с начальной меры \(\mu_0\neq m\). Определите \[ \lim_{t\to \infty} \frac{1}{t}\log \|\mu_t-m\|_{TV} \]

  1. \(m_1 = \frac{\beta}{\alpha+\beta}\), \(m_2 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\).

  2. Цепь является обратимой, поэтому она имеет те же вероятности перехода.

  3. \(P\) имеет собственные значения \(1\) и \(1-\alpha -\beta\). Следовательно, предел равен \(-\log(1-\alpha-\beta)\) (что составляет \(-\infty\), если \(\alpha+\beta=1\), поскольку в этом случае \(X_t\) становятся независимыми одинаково распределенными (i.i.d.) при \(t\ge 1\)).

Упражнение 2 Жук перемещается по отрезку с узлами \(S=\{a, b, c\}\). Узел \(a\) — это «отражающая стенка»: если жук находится в \(a\), он переходит в \(b\) с вероятностью \(1\) на следующем шаге. Узел \(c\) — это «липкая ловушка» (поглощающее состояние): если жук находится в \(c\), он остается в \(c\) навсегда. Из узла \(b\) жук переходит в \(c\) с вероятностью \(p \in (0,1)\) и возвращается в \(a\) с вероятностью \(1-p\). Найдите ожидаемое число шагов, необходимых жуку, чтобы попасть в ловушку, при старте из \(a\).

Пусть \(\tau_c\) — момент первого попадания в \(c\), который конечен п.н., и пусть \(u(x):=\mathbb{E}[\tau_c]\). Функция \(u\) удовлетворяет условиям \(u(c)=0\) и \((I-P)u=1\). А именно: \(u(b)= 1+(1-p)u(a)\), \(u(a)=u(b)+1\). Отсюда \(u(a)=2/p\).

Упражнение 3 Пусть \(S=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_N\), где \(\mathbb{Z}_N:= \{0,1,\ldots,N\}\), а \(i,j \in \mathbb{Z}_N\) являются соседями, если \(i=j \pm 1 \pmod N\).

  1. Определите, является ли простое случайное блуждание по \(S\) возвратным или невозвратным.
  2. Для \(N=2\) определите (положительные, конечные в каждой точке) инвариантные меры для такого случайного блуждания.
  1. Пусть \(X_t=(Y_t,Z_t)\) — случайное блуждание. \(\mathbf{X}\) неприводима, поэтому все точки обладают одинаковым свойством возвратности/невозвратности. \(\mathbf{Y}=(Y_t)\) — это случайное блуждание по \(\mathbb{Z}\) с вероятностями перехода \(q_{y,y}=1/2\), \(q_{y,y\pm 1}=1/4\). Таким образом, \(\mathbf{Y}\) возвратно и посещает каждую точку, например \(0\), бесконечно много раз с вероятностью \(1\). Каждый раз, когда \(Y_t\) посещает \(0\), \(X_t\) имеет строго положительную вероятность посетить \((0,0)\), следовательно множество \(\{t \st X_t=(0,0)\}\) бесконечно с вероятностью \(1\). А именно, \(\mathbf{X}\) возвратно.
  2. Равномерные меры \(m_x=c\) являются единственными инвариантными мерами.