Мартингалы

\[\newcommand{\st}{\, : \:} \newcommand{\ind}[1]{\mathbf{1}_{#1}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}\]

Мы кратко напомним некоторые основные свойства и неравенства, касающиеся мартингалов.

Определения

Определение 1 (Пространство с фильтрацией) Пусть $\Theta$ — частично упорядоченное множество, а $(\Omega,\mathcal{F})$ — измеримое пространство.

Фильтрация на $\Omega$, индексированная по $\Theta$, — это возрастающее семейство $(\mathcal{F}_{t\in \Theta})_{t \in \Theta}$ под-$\sigma$-алгебр $\mathcal{F}$. А именно, для любых $s,t \in \Theta$ с $s\le t$ выполняется $\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t$. Фильтрация является сепарабельной¹, если существует счётное множество $\Theta'\subset \Theta$ такое, что $\mathcal{F}_t = \cap_{s\in \Theta', s > t} \mathcal{F}_s$ для всех $t \in \Theta$.

Тройка $(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_{t\in \Theta})$ в таком случае называется пространством с фильтрацией.

Если $\mathbb{P}$ — вероятность на $(\Omega,\mathcal{F})$, то $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in \Theta}, \mathbb{P})$ называется вероятностным пространством с фильтрацией. Оно является полным вероятностным пространством с фильтрацией, если $(\Omega,\mathcal{F}_t, \mathbb{P})$ полно для каждого $t\in \Theta$.

Определение 2 Пусть $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in \Theta})$ — пространство с фильтрацией, $S$ — измеримое пространство, а $\mathbf{X}=(X_t)_{t\in \Theta}$ — семейство измеримых отображений $X_t\colon \Omega \to S$. $\mathbf{X}$ согласован с $\mathcal{F}_t$, если $X_t$ является $\mathcal{F}_t$-измеримым для $t\in \Theta$. Естественная фильтрация $\mathcal{F}_t^{\mathbf{X}}$ процесса $\mathbf{X}$ — это слабейшая фильтрация, с которой $\mathbf{X}$ согласован.

Определение 3 (Мартингал) Пусть $(\Omega,\mathcal{F},\mathcal{F}_{t\in \Theta})$ — пространство с фильтрацией, и для $t\in \Theta$ пусть $M_t$ — вещественнозначная случайная величина $M_t\colon \Omega \to \mathbb R$ с $M_t \in L^1(\mathbb{P})$, а именно $\mathbb{E}[|M_t|]<\infty$, для $t\in \Theta$.

Для вероятности $\mathbb{P}$ на $(\Omega,\mathcal{F})$, $\mathbf{M}=(M_t)_{t\in \Theta}$ является

$\mathbb{P}$-субмартингалом, если $\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] \ge M_s$ для $s,t \in \Theta$ с $s\le t$.
$\mathbb{P}$-супермартингалом, если $\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] \le M_s$ для $s,t \in \Theta$ с $s\le t$.
$\mathbb{P}$-мартингалом, если он является одновременно и супермартингалом, и субмартингалом, а именно, если $\mathbb{E}[M_t \mid \mathcal{F}_s] = M_s$ для $s,t \in \Theta$.

Если $\mathbb{P}$ ясно из контекста, то оно обычно опускается в обозначениях, например, $\mathbb{P}$-мартингал в этом случае называется просто мартингалом.

Пример 1 Пусть $(X_i)_{i\ge 1}$ — последовательность независимых вещественнозначных интегрируемых случайных величин, а $\mathcal{F}_n:=\sigma(X_1,\ldots,X_n)$ — наименьшая $\sigma$-алгебра, относительно которой $(X_1,\ldots,X_n)$ измеримы.

Тогда $M_n:=\sum_{i=1}^n X_i$ является субмартингалом т. и т. т., когда $\mathbb{E}[X_i]\ge 0$ для всех $i\ge 1$, супермартингалом т. и т. т., когда $\mathbb{E}[X_i]\le 0$ для всех $i$. И, следовательно, мартингалом т. и т. т., когда $\mathbb{E}[X_i]= 0$ для всех $i$. Действительно, для $k < n$, используя независимость \[ \mathbb{E}[M_n \mid \mathcal{F}_{k}] = \mathbb{E}[ M_k + (X_{k+1} + \ldots X_n) \mid (X_1,\ldots,X_k)]= = M_k+ \sum_{i=k+1}^n \mathbb{E}[X_i] \] Так, например, если математические ожидания неотрицательны, $M_n$ является субмартингалом. С другой стороны, если $M_n$ — субмартингал, то необходимо, чтобы $\mathbb{E}[X_n]\ge 0$ для всех $n\ge 1$, что следует из рассмотрения $k=n-1$ выше.

Примечание 1. $M_t \in L^1(\mathbb{P})$ является мартингалом относительно данной фильтрации тогда и только тогда, когда он является мартингалом относительно своей естественной фильтрации, а именно, т. и т. т., когда $\mathbb{E}[M_t \mid (M_r)_{r\le s}]= M_s$ для $s\le t$.

Примечание 2. Если $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ — выпуклая (вогнутая) функция, а $M_t$ — субмартингал (супермартингал), то $f(M_t)$ является субмартингалом (супермартингалом), при условии что $f(M_t)\in L^1(\mathbb{P})$. Это является следствием неравенства Йенсена. В частности, линейные комбинации мартингалов являются мартингалами.

Примечание 3. Если $\Theta=\mathbb{N}$ (или любое другое счётное множество), фильтрация автоматически сепарабельна, и мартингал (суб/супермартингал) $(M_n)$ в этом случае называется дискретным мартингалом (суб/супермартингалом).

Примечание 4. Если $\Theta=[0,\infty)$ (или какой-либо другой вещественный интервал), фильтрация сепарабельна т. и т. т., когда \[ \mathcal{F}_s= \mathcal{F}^+_s:= \cap_{t>s} \mathcal{F}_t \] поскольку мы всегда можем взять пересечение по рациональным числам. В этом случае фильтрация обычно называется непрерывной справа. Мартингал (суб/супермартингал) $(M_t)_{t\ge 0}$ в этом случае называется мартингалом с непрерывным временем (суб/супермартингалом).

Если $(M_n)$ — дискретный мартингал (суб/супермартингал) на дискретном пространстве с фильтрацией $(\Omega,\mathcal{F})$, $(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_n)_{n\in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$, мы можем определить для $t\in [n,n+1)$: \[ \mathcal{F}_t:=\mathcal{F}_n \qquad M_t:=M_n \] чтобы получить мартингал (суб/супермартингал) с непрерывным временем. Таким образом, теория мартингалов с непрерывным временем фактически охватывает теорию дискретных мартингалов.

Мартингалы с непрерывным временем и моменты остановки

Теорема сходимости Дуба

Для вещественного числа $a\in \mathbb{R}$ мы используем обозначения $a^+:=\max(x,0)$, $a^-:=\max(-a,0)$, так что $a=a^+-a^-$ и $|a|=a^+ + a^-$. Для $\mathbf{X}:=(X_t)_{t\in \mathbb{R}}$ мы также записываем \[ X_{t^+}:= \lim_{s\downarrow t} X_s, \qquad X_{t^-}:= \lim_{s\uparrow t} X_s \] и мы определяем случайные множества² \[ I^+\equiv I_{+}(\mathbf{X}):= \{t\in \mathbb{R} \st X_{t}=X_{t^+} \}, \qquad I_{-}\equiv I^-(\mathbf{X}):= \{t\in \mathbb{R} \st X_{t}=X_{t^-} \} \]

Теорема 1 Пусть $\mathbf{X}:=(X_t)_{t\in \mathbb{R}}$ — супермартингал с непрерывным временем такой, что \[ \varlimsup_{t} \mathbb{E}[X_t^-]<\infty \tag{1}\] Тогда $X_t$ имеет левые и правые пределы с вероятностью 1: \[ \mathbb{P}(X_{t^+}, X_{t^-} \text{ существуют для всех $t$})=1 \]

Более того, существует случайная величина $X\in L^1(\Omega)$ такая, что \[ \lim_{t\to \infty, t\in I_{+}\cup I_{-}} X_t=X \quad \text{с вероятностью 1} \] В частности, при Уравнение 1, супермартингал, непрерывный справа (или слева), имеет предел с вероятностью 1.

Сноски

Когда $\Theta$ — вполне упорядоченное, сепарабельное пространство, в частности, когда $\Theta \subset \mathbb{R}$, сепарабельная фильтрация также называется непрерывной справа. Действительно, в этом случае обычно вводится пополненная справа фильтрация \[ \mathcal{F}_t^+:= \cap_{s>t} \mathcal{F}_s \] и сепарабельность эквивалентна $\mathcal{F}_t=\mathcal{F}^+_t$.↩︎
точно, в обозначении $X_t=X_{t^+}$ мы имеем в виду, что предел должен существовать и равняться $X_t$, или, что эквивалентно, $\varlimsup_{s\downarrow t} |X_{s}-X_t|=0$.↩︎